נובל
פרס
≤±
המופיעות רק בגרסה השמאלית ולא
לבסוף חישבנו את
Æ
או להפך
¨
בימנית
Æ
הסיבוכיות של המבנה
לאחרונה אנו עוסקים בעיקר בסדרת
שהיא
¨
היא ועקומת הדרקון
Æ
קיפול הנייר
הומצאו לפני כיובל שנים על
¨
תולדתה
ופורסמו
NASA
ידי שלושה פיזיקאים של
®
Martin Gardner
©
ע“י מרטין גארדנר
Scientific
בטורו המיתולוגי בכתב העת
מאז עוסקים מתמטיקאים
Æ
American
אך מעולם לא חרגו
¨
רבים בסדרה הזאת
זה לא כבר הצלחנו
Æ
מעבר לממד אחד
להכליל את סדרת קיפול הנייר לממד
הקורא החרוץ
¨
לשם הדגמה
Æ
כלשהו
מתבקש לקחת גיליון נייר ולקפל אותו
משמאל לימין ולחזור על הקיפול כמה
אפשר לקפל נייר רגיל
אי
¨
אגב
Æ
פעמים
לאחר מכן יש לפתוח
Æ
יותר משש פעמים
גיא
את הנייר ולהתבונן בסדר הקיפולים
ואם
Æ
הרי לכם תחילת הסדרה
Æ
או רכס
נראה שהקפלים הם
¨
נתבונן בנייר מצדו
Æ®≤
איור
©
תחילתה של עקומת הדרקון
נעיר כי סדרת קיפול הנייר הינה כמעט
¨
פריודית גבולית
דהיינו קוואזי
¨
מחזורית
Æ
גביש גבולי
ובתור שכזאת היא קוואזי
פרוש הדבר הוא שיש בה אינסוף מחזורים
Æ
שאינם משותפי מידה
הבה נקפל כעת את גליון הנייר משמאל
ונחזור
¨
ולאחר מכן מלמטה למעלה
¨
לימין
Æ
אולי שלוש פעמים
על כך ככל שנצליח
יצליח לבצע זאת
¨
לעומת זאת
¨
המחשב
והמחשבה המתמטית
¨
פעמים רבות
בזכות המתמטיקה
Æ
אפילו אינסוף פעמים
ממדי במרחב
n
אנו יודעים לקפל גיליון
הדורות הראשונים של מבנה
Æ
n
´ ±
שממדו
Æ¥ ¨≥
ממדי מוצגים באיורים
קיפול נייר דו
המניע העיקרי
¨
כפי שנרמז בהתחלה
מחזוריים הוא השאיפה
לחקר מבנים לא
להעמיק את הבנת המשמעות של סדר
ולכמת
¨
סדר ואת מידתו ומורכבותו
ואי
נכון לעכשיו נראית הסיבוכיות
Æ
אותן
פונקציה המונה את מספר
©
הסימבולית
®
המבנים השונים בעלי אותו גודל וצורה
ולכן אנחנו מחשבים
¨
כמידתו המיטבית
Æ
אותה למבנים אשר בנינו
מקובל לחשוב כי האנטרופיה היא מידת
אך מסתבר שהאנטרופיה על
¨
סדר
האי
®
ערך
שהן בעיקרן שוות
©
מגוון הגדרותיה
אינה מצליחה להבחין בין מבנה אקראי
יש לכך
Æ
למבנה דטרמיניסטי מורכב דיו
הוא מאפשר את קיומם של
גם צד חיובי
מחוללי מספרים אקראיים אשר כמעט
כלומר
¨
אקראיים
כולם בעצם פסאודו
פרט לכמה יוצאים מן הכלל
¨
כוזבים
המבוססים על תופעת טבע כגון התפרקות
Æ
רדיואקטיבית
בשביל מה זה
בסוף נשאלת השאלה
ø
והאם אפשר להרוויח מזה
ø
בכלל טוב
כיום אנחנו
¨
כמו שכבר אמרנו
¨
מצד אחד
מבינים יותר טוב שאלות אשר לפני
ויש לנו
¨
כשלושה עשורים אפילו לא נשאלו
¨
אף כי לרוב חלקיות
¨
גם לא מעם תשובות
Æ
וזה בעצם הדבר המאתגר והמרתק
כיום קיימות
Æ
מצד שני קיים הצד המעשי
טכנולוגיות המבוססות על אלגוריתמים מן
המסוגלות ליצור מבנים
¨
הסוג שהוזכר כאן
ממדיים
דו
¨
ממדיים
חד
אפריודיים קוואזי
דבר זה מאפשר ליצור
Æ
ממדיים
ואף תלת
כלומר חומרים בעלי תכונות
¨
חומרים
מטא
בעיקר
¨
חריגות שלא נמצאים בטבע
Æ
תכונות חשמליות ואופטיות בלתי רגילות
בן
®
שלמה יצחק
©
ש“י
®
אמריטוס
©
פרופסור
¨
אברהם הוא חבר סגל במחלקה לפיזיקה
גוריון בנגב
אוניברסיטת בן
‘י
ִ
יבונצ
ִ
המכונה פ
®
Leonardo Pisano
©
נוֹ
À
רדוֹ פיז
ַ
אוֹנ
ֵ
או ל
®
Leonardo da Pisa
©
ה
À
ה פיז
À
רדוֹ ד
ַ
אוֹנ
ֵ
ל
בספרו
¨
היה ראשון המתמטיקאים המערביים אשר הציג
¨±≤μ∞≠±±∑∞
שחי בערך בשנים
¨®
Fibonacci
©
את שיטת הצגת המספרים המיקומית שמקורה בהודו והנהוגה עד
®
ספר החשבון
©
Liber Abaci
והיא
®“
שאנו קוראים להם בטעות ”שפנים
© “
הוא ניסח את ”בעיית התרבות הארנבונים
Æ
ימינו אנו
הארנבונים יגיעו לפרקם כעבור חודשיים
Æ
נציב על אי שומם זוג ארנבונים שזה עתה נולדו
כמה זוגות ארנבונים יהיו
Æ
הארנבונים הללו בני אלמוות הם
Æ
ואז יולידו זוג ארנבונים חדש
הבעיה הזאת היתה ידועה בהודו כבר במאה
ø
על האי כעבור מספר חודשים נתון
Æ
השישית לכל המאוחר
Æ
‘י
ִ
יבונצ
ִ
פתרון הבעיה הוא סדרת מספרי פ
מספרי פיבונצ‘י מוגדרים על ידי נוסחת הנסיגה ותנאי ההתחלה
,0
כולל
n
לכל טבעי
F(0) = 0, F(1) = 1
והרי הראשונים של מספרי פיבונצ‘י
ÆÆÆ ¨≥∑∑ ¨≤≥≥ ¨±¥¥ ¨∏π ¨μμ ¨≥¥ ¨≤± ¨±≥ ¨∏ ¨μ ¨≥ ¨≤ ¨± ¨± ¨∞
יש לציין כי סדרת פיבונצ‘י ומספרי פיבונצ‘י מופיעים בתופעות טבע
כדאי גם להעיר כי המנה
Æ
רבות שלכאורה אין ביניהן שום קשר
הנה קירוב
F(n+1) / F(n)
של שני מספרי פיבונצ‘י עוקבים
Æ
אמנם מגיע אליו
n
ובגבול
t=(1+
5)/2
ליחס הזהב
את תחולת סדרת פיבונצ‘י ואת מספרי פיבונצ‘י אפשר
Æ
להרחיב גם למספרים השלמים השליליים
Æ
זאת נשאיר כתרגיל לקורא החרוץ
שים
‘י
ִ
יבונצ
ִ
הארנבונים של פ
50...,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,...1